El bloque de Álgebra es uno de los pilares de Matemáticas en 2.º de Bachillerato y vuelve a aparecer en el primer curso de muchos grados universitarios. Las matrices y los determinantes asustan al principio por la cantidad de números y de reglas, pero en realidad se reducen a un puñado de operaciones que, bien ordenadas, se resuelven de forma casi mecánica.
Esta guía está pensada para estudiantes de toda España, tanto de Bachillerato como de primeros cursos de universidad, y sirve igual si estudias por tu cuenta, en tu centro o con clases online.
Operaciones básicas con matrices
Sumar y restar matrices es sencillo: solo se pueden operar matrices de la misma dimensión y se hace elemento a elemento. Multiplicar una matriz por un número también es directo: se multiplica cada elemento.
El producto de matrices es donde aparecen los errores. Dos reglas que conviene grabarse:
- Solo se pueden multiplicar A · B si el número de columnas de A coincide con el número de filas de B.
- El producto no es conmutativo: en general, A · B es distinto de B · A. Cada elemento del resultado se obtiene multiplicando una fila de A por una columna de B y sumando.
Determinantes: cómo calcularlos
El determinante solo existe para matrices cuadradas. Los dos casos más habituales:
- Matriz 2×2: det = a·d − b·c.
- Matriz 3×3: se puede usar la regla de Sarrus (suma de las tres diagonales principales menos las tres secundarias) o el desarrollo por adjuntos, eligiendo la fila o columna con más ceros para ahorrar cuentas.
Ejemplo resuelto. Sea la matriz A de filas (2, 1) y (3, 4). Su determinante es 2·4 − 1·3 = 5. Como es distinto de cero, la matriz tiene inversa.
Otro ejemplo 3×3. Sea B con filas (1, 2, 3), (0, 1, 4) y (5, 6, 0). Desarrollando por la primera fila: 1·(1·0 − 4·6) − 2·(0·0 − 4·5) + 3·(0·6 − 1·5) = −24 + 40 − 15 = 1. El determinante vale 1.
Propiedades útiles que ahorran tiempo
- Si una fila o columna es toda de ceros, el determinante es 0.
- Si dos filas (o columnas) son iguales o proporcionales, el determinante es 0.
- Si intercambias dos filas, el determinante cambia de signo.
- det(A · B) = det(A) · det(B).
- El determinante de la traspuesta es igual al de la matriz original.
La matriz inversa
Una matriz cuadrada A tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero. Para calcularla con la fórmula clásica: A⁻¹ = (1/det A) · (Adj A)ᵗ, es decir, se calcula la matriz de adjuntos, se traspone y se divide por el determinante.
Siguiendo el ejemplo anterior: para A con filas (2, 1) y (3, 4), con det A = 5, la inversa es (1/5) · la matriz de filas (4, −1) y (−3, 2). Comprueba siempre el resultado multiplicando A · A⁻¹: debe darte la matriz identidad.
Rango de una matriz
El rango es el número máximo de filas (o columnas) linealmente independientes. Se calcula con menores: el rango es el orden del mayor menor con determinante distinto de cero. También se puede obtener por el método de Gauss, haciendo ceros bajo la diagonal. El rango es clave después para discutir sistemas de ecuaciones.
Aplicación estrella: discutir y resolver sistemas
Los determinantes y el rango permiten clasificar un sistema con el teorema de Rouché-Frobenius: comparando el rango de la matriz de coeficientes con el de la ampliada y con el número de incógnitas sabes si el sistema es compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible. Si el sistema es compatible determinado, se puede resolver con la regla de Cramer.
Errores típicos que restan puntos
- Multiplicar matrices elemento a elemento en lugar de fila por columna.
- Olvidar el cambio de signo de los adjuntos (patrón + − + / − + − / + − +).
- Calcular la inversa sin comprobar antes que el determinante no es cero.
- Asumir que A · B = B · A.
- No comprobar el resultado final, cuando una simple multiplicación detecta el error.
Cómo practicarlo
Lo que más funciona es hacer ejercicios de examen reales, cronometrados, y revisar cada error para identificar en qué paso exacto fallas: el producto, el signo de un adjunto, la discusión del sistema. Cuando se localiza el punto de bloqueo, el tema se desatasca rápido.
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